대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

박테리아 감소 로그 모형

문제

어느 물탱크에 서식하고 있는 박테리아를 제거하기 위하여 약품을 투여하려고 한다. 물탱크에 있는 물 1mL1 \mathrm{mL}당 초기 박테리아 수를 C0C _{0}, 약품을 투여한 지 tt시간이 지나는 순간 1mL1 \mathrm{m} L당 박테리아 수를 CC라 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 하자. log⁡CC0=−kt\displaystyle \log \frac{C}{C _{0}} = - k t (kk는 양의 상수) 물 1mL1 \mathrm{m} L당 초기 박테리아 수가 8×1058 \times 10 ^{5}이고, 약품을 투여한 지 33시간이 지나는 순간 1mL1 \mathrm{m} L당 박테리아 수는 2×1052 \times 10 ^{5}이 된다고 한다. 약품을 투여한 지 aa시간 후에 처음으로 1mL1 \mathrm{m} L당 박테리아 수가 8×1038 \times 10 ^{3} 이하가 되었다. aa의 값을 구하시오. (단, log⁡2=0.3\log 2 = 0.3으로 계산한다.) [4점]

미분과 적분

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1010

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해설

log⁡CC0=−kt\displaystyle \log \frac{C}{C _{0}} = - kt에 C0=8×105C _{0} = 8 \times 10 ^{5}, t=3t = 3, C=2×105C = 2 \times 10 ^{5}을 대입하면 log⁡14=−3k\displaystyle \log \frac{1}{4} = - 3 k ∴k=log⁡43=23log⁡2\displaystyle \therefore k = \frac{\log 4}{3} = \frac{2}{3} \log 2 따라서 log⁡CC0=−kt\displaystyle \log \frac{C}{C _{0}} = - kt에 C0=8×105C _{0} = 8 \times 10 ^{5}, t=at = a, C=8×103C = 8 \times 10 ^{3}을 대입하면 log⁡1100=−2a3log⁡2\displaystyle \log \frac{1}{100} = - \frac{2 a}{3} \log 2 ∴−2=−2a3×0.3\displaystyle \therefore - 2 = - \frac{2 a}{3} \times 0.3 ∴a=10\therefore a = 10

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