배수와 제곱수 순서쌍

[출제의도] 제곱근의 값을 추측하여 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구한다. $a$와 $b$는 두 자리 자연수이므로 $10 \leq a \leq 99$, $10 \leq b \leq 99$가 되어 $20 \leq a + b \leq 198$ 조건 (가)에서 $a + b$는 $24$의 배수이므로 $a + b = 24 k$($k$는 자연수)라 하면 $\displaystyle \sqrt{a + b} = \sqrt{24 k} = \sqrt{2 ^{3} \times 3 \times k}$ 이 값이 자연수가 되려면 근호 안의 수 $2 ^{3} \times 3 \times k$가 어떤 자연수의 제곱이 되어야 한다. $2 ^{3}$과 $3$은 지수가 홀수이므로 $k = 6 n ^{2}$($n$은 자연수)이다. ⅰ) $n = 1$일 때 $a + b = 24 \times 6 = 144$이고 $a$, $b$는 두 자리의 자연수이므로 $a = 99$일 때, $b = 45$ $a = 98$일 때, $b = 46$ $\cdots$ $a = 45$일 때, $b = 99$ ⅱ) $n = 2$일 때 $a + b = 24 \times 24 = 576$이므로 가능한 $a$, $b$의 값은 없다. 마찬가지 방법으로 $n \geq 3$일 때 가능한 $a$, $b$의 값은 없다. 따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 99 , 45 \right)$, $\left( 98 , 46 \right)$, $\cdots$ , $\left( 45 , 99 \right)$ 이므로 $55$개다.