배수 조건 순서쌍

① ${d = 2}$일 때, $a = 2 p , b = 2 q , c = 2 r ($단, $p , q , r$은 자연수)로 놓으면 $2 p + 2 q + 2 r = 18$ $\rightarrow p + q + r = 9 ($단, $p , q , r$은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 $( p , q , r )$의 개수가 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수와 같으므로 ${{}_{3} H _{9-3} = _{8} C _{6} = _{8} C _{2} = 28}$가지이다. ② $d = 3$일 때, $a = 3 p , b = 3 q , c = 3 r ($단, $p , q , r$은 자연수)로 놓으면 $3 p + 3 q + 3 r = 17$을 만족시키는 자연수 $p , q , r$은 존재하지 않는다. ③ ${d = 4}$일 때, $a = 4 p , b = 4 q , c = 4 r ($단, $p , q , r$은 자연수)로 놓으면 $4 p + 4 q + 4 r = 16$ $\rightarrow p + q + r = 4 ($단, $p , q , r$은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 $( p , q , r )$의 개수가 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수와 같으므로 ${{}_{3} H _{4-3} = _{3} C _{1} = 3}$가지이다. ④ ${d = 5}$일 때, $a = 5 p , b = 5 q , c = 5 r ($단, $p , q , r$은 자연수)로 놓으면 $5 p + 5 q + 5 r = 15$ $\rightarrow p + q + r = 3 ($단, $p , q , r$은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 $( p , q , r )$은 $( 1 , 1 , 1 )$밖에 없으므로 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수는 1가지이다. ⑤ $d \geq 6$이면 만족시키는 순서쌍 $( a , b , c , d )$은 존재하지 않는다. 따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수는 $28 + 3 + 1 = 32$가지이다.