배수 집합

[출제의도] 집합의 연산법칙과 약수와 배수의 성질을 이용하여 자연수의 개수를 구한다. 집합 $A _{n} \cap A _{2}$는 $n$과 $2$의 공배수의 집합이다. $A _{n} \cap A _{2} = A _{2 n}$에서 $n$과 $2$의 최소공배수는 $2 n$이므로 $n$과 $2$는 서로소이다. 따라서 $n$은 홀수인 자연수이다. $90$이 집합 $A _{2} - A _{n}$의 원소이면 $90 \in A _{2}$, $90 \notin A _{n}$이므로 $90$은 $n$의 배수가 아니다. 즉, $n$은 $90$의 약수가 아니다. 한편, $90$의 홀수인 약수는 $1$, $3$, $5$, $9$, $15$, $45$이다. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 $n$은 $90$ 이하의 홀수 중 $90$의 홀수인 약수를 제외한 나머지 수이므로 그 개수는 $45 - 6 = 39$