미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

배각으로 선분 길이

문제

그림과 같이 BC‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 4, ∠BAC=90∘\mathrm{\angle} BAC = 90 ^\circ인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 선분 BC\mathrm{BC}의 연장선위에∠ABC=∠CAD\mathrm{\angle} ABC = \angle CAD가 되도록 점 D\mathrm{D}를 잡는다. ∠ABC=θ\mathrm{\angle} ABC = \theta라 할 때, 다음 중 선분 AD\mathrm{AD}의 길이를 나타내는 것은? (단, ∠ABC<45∘\mathrm{\angle} ABC < 45 ^\circ) [4점]

①2tan⁡θ2 \tan \theta②2tan⁡2θ2 \tan 2 \theta③cos⁡2θ\cos 2 \theta④2cos⁡2θ2 \cos 2 \theta⑤4sin⁡θ4 \sin \theta

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②

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해설

AC‾=BC‾sin⁡θ=4sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \overline{BC} \sin \theta = 4 \sin \theta 이고 점 A\mathrm{A}에서 밑변 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라고 하면 ∠CAH=θ\mathrm{\angle} CAH = \theta이므로 AD‾cos⁡2θ=AH‾,\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \cos 2 \theta = \overline{AH} , AH‾=AC‾cos⁡θ=4sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \overline{AC} \cos \theta = 4 \sin \theta \cos \theta=2sin⁡2θ= 2 \sin 2 \theta ∴ AD‾=2sin⁡2θcos⁡2θ=2tan⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \frac{2 \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = 2 \tan 2 \theta

태그

#삼각함수의 덧셈정리#배각공식

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