대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

바둑돌 개수의 합

문제

그림과 같이 대각선에는 흰색 바둑돌을, 나머지에는 검은색 바둑돌을 정사각형 모양으로 놓는다.

				$\cdots$
[1단계]	[2단계]	[3단계]	[4단계]	$\cdots$

이와 같은 방법으로 계속하여 바둑돌을 놓을 때, [ $n$ 단계]에 놓인 바둑돌 중 검은색 바둑돌의 개수를 $a _{n}$ 이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}$ 의 값은? [4점] ① $460$ ② $480$ ③ $500$ ④ $520$ ⑤ $540$

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③

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해설

[출제의도] 규칙성을 이용하여 수학외적 문제해결하기 (ⅰ) $n$ 이 홀수인 경우 $a _{n} = \left( n + 2 \right) ^{2} - 2 \left( n + 2 \right) + 1$ $n = 2 k - 1$ 이면 $a _{2 k - 1} = 4 k ^{2}$ (ⅱ) $n$ 이 짝수인 경우 $a _{n} = \left( n + 2 \right) ^{2} - 2 \left( n + 2 \right)$ $n = 2 k$ 이면 $a _{2 k} = 4 k ^{2} + 4 k$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{5} ( a _{2 k - 1} + a _{2 k} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( 8 k ^{2} + 4 k \right) = 500$

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