미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

아폴로니우스 원 급수

문제

좌표평면 위의 두 점 A(0,0)\mathrm{A} ( 0 , 0 ), B(5,0)\mathrm{B} \mathit{(} 5 , 0 )과 11보다 큰 자연수 nn에 대하여 AP‾:PB‾=1:n\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PB}} = \mathit{1} : n을 만족하는 점 P(x,y)\mathrm{P} \mathit{(} x , y ) _{{} _{{} _{}}}들의 집합을 TnT _{n}이라 하자. 집합 TnT _{n}의 임의의 두 원소 P\mathrm{P} ^{{} ^{{} ^{}}}, Q\mathrm{Q} ^{{} ^{{} ^{}}} {}^{{} ^{{} ^{}}}에 대하여 PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}의 최댓값을 M(n)M ( n )이라고 할 때, ∑n=2∞10M(n)n\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} \frac{10 M ( n )}{n}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 무한급수의 합 구하기 x2+y2:(x−5)2+y2=1:n\displaystyle \sqrt{x ^{2} + y ^{2}} : \sqrt{\left( x - 5 \right) ^{2} + y ^{2}} = 1 : n이므로 (x+5n2−1)2+y2=(5nn2−1)2\displaystyle \left( x + \frac{5}{n ^{2} - 1} \right) ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{5 n}{n ^{2} - 1} \right) ^{2}이다. TnT _{n}의 임의의 두 원소 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}에 대하여 PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}의 최댓값 M(n)=10nn2−1\displaystyle M \left( n \right) = \frac{10 n}{n ^{2} - 1}이다. ∑n=2∞10M(n)n=50∑n=2∞(1n−1−1n+1)=75\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} \frac{10 M \left( n \right)}{n} = 50 \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) = 75

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#아폴로니우스원#부분분수#급수

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