미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

알콜 농도 반복 시행

문제

1000mL1000 \mathrm{mL}의 물이 가득 들어있는 용기가 있다. 이 용기에서 담긴 양의 12\displaystyle \frac{1}{2}을 덜어내고 물 300mL300 \mathrm{mL}와 알콜 100mL100 \mathrm{mL}를 다시 넣는 것을 첫 번째 시행이라 하고, 이 시행 후 용기에 남아 있는 양의 12\displaystyle \frac{1}{2}을 덜어내고 물 300mL300 \mathrm{mL}와 알콜 100mL100 \mathrm{mL}를 다시 넣는 것을 두 번째 시행이라 하자. 이와 같은 과정을 한 없이 반복한다고 할 때, 용기 안에 알콜의 농도(%\%)는? (단, 자연증발 및 기타 유실량은 무시한다.) [4점] ①10%10 \%②15%15 \%③20%20 \%④25%25 \%⑤30%30 \%

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④

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해설

한없이 반복하여 남은 물과 알콜의 양에 대한 합은 an+1=12an+400\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{2} a _{n} + 400이고 극한을 취하면 lim⁡n→∞an+1=lim⁡n→∞(12an+400)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( \frac{1}{2} a _{n} + 400 ) ∴ lim⁡n→∞an=800\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = 800. bnb _{n}을 nn번 시행으로 남은 알콜의 양으로 정할 때 bn+1=12bn+100\displaystyle b _{n + 1} = \frac{1}{2} b _{n} + 100 이다. 따라서 극한값을 취하면 lim⁡n→∞bn+1=lim⁡n→∞(12bn+100)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n + 1} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( \frac{1}{2} b _{n} + 100 ) ∴lim⁡n→∞bn=200\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = 200, 농도= 200800×100\displaystyle \frac{200}{800} \times 100= 25%25 \%이다.

태그

#점화식#수열의 극한#활용

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