(AB)⁻¹ 성분 합

[출제의도] 행렬의 연산과 역행렬에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $A + B = E$이면 $\displaystyle A + B = \begin{pmatrix} a & b \\ - b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & - a \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & b - a \\ - b + a & a + b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 이므로 $a + b = 1 , a - b = 0$ $\therefore$$\displaystyle a = b = \frac{1}{2}$ $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ - b & a \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix}$ $\displaystyle B = \begin{pmatrix} b & - a \\ a & b \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 이므로 $\displaystyle AB = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ∴ $\displaystyle ( AB ) ^{- 1} = \left( \frac{1}{2} E \right) ^{- 1}$ $\displaystyle = 2 E = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 따라서 $( AB ) ^{- 1}$의 모든 성분의 합은 $4$이다.