공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

AB=BC 보기

문제

세 이차정사각행렬 AA, BB, CC가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) AB=BCAB = BC (나) BB의 역행렬이 존재한다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. A=EA = E이면 C=EC = E이다. ㄴ. AA의 역행렬이 존재하면 CC의 역행렬도 존재한다. ㄷ. A7B=BC7A ^{7} B = BC ^{7}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 곱셈과 역행렬에 대한 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. A=EA = E이면 (가)에서 B=BCB = BC 행렬 BB의 역행렬이 존재하므로 B−1B=B−1BCB ^{-1} B = B ^{-1} BC ∴ C=B−1B=EC = B ^{-1} B = E (참) ㄴ. 행렬 AA의 역행렬이 존재하면 AB=BCAB = BC에서 C=B−1ABC = B ^{-1} AB 이때, C−1=(B−1AB)−1=B−1A−1BC ^{- 1} = ( B ^{- 1} AB ) ^{- 1} = B ^{- 1} A ^{- 1} B 이므로 행렬 CC의 역행렬이 존재한다. (참) ㄷ. (가), (나)에서 A=BCB−1A = B C B ^{-1}이므로 A7=(BCB−1)7A ^{7} = ( BCB ^{-1} ) ^{7}=(BCB−1)(BCB−1)⋯(BCB−1)= ( BCB ^{-1} ) ( BCB ^{-1} ) \cdots ( BCB ^{-1} )=BC7B−1= BC ^{7} B ^{- 1} ∴ A7B=BC7A ^{7} B = BC ^{7}(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [다른 풀이] ㄷ. A7B=AA⋯AABA ^{7} B = AA \cdots AAB=AA⋯ABC= AA \cdots ABC =AA⋯BCC= AA \cdots BCC ⋮ =BC⋯CCC= BC \cdots CCC=BC7= BC ^{7}

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