AB-BA 성질 보기

ㄱ. (반례) $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$이면 $AB - BA$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ - 3 & - 3 \end{pmatrix}$ 이 때, $3 ( - 3 ) - 5 ( - 3 ) \neq 0$이다. (거짓) ㄴ. $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$라 하면 $AB - BA$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} ax + cy & bx + d y \\ az + cw & bz + dw \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} bz - cy & ay + bw - bx - d y \\ cx + dz - az - cw & cy - bz \end{pmatrix}$ ∴ $p + s = ( bz - cy ) + ( cy - bz ) = 0$ (참) ㄷ. $A = E$일 때 임의의 이차정사각행렬 $B$에 대하여 $AB = BA$ 즉, $AB - BA = O$이지만 반드시 $B$가 $A$의 역행렬인 것은 아니다. (거짓)