공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

AB=A-B 보기

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB 가 AB=A−BAB = A - B 를 만족시킬 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, EE 는 단위행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. A−EA - E 의 역행렬이 존재한다. ㄴ. B−EB - E 의 역행렬이 존재한다. ㄷ. (A+B)2=A2+2AB+B2( A + B ) ^{2} = A ^{2} + 2 AB + B ^{2}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제의도] 행렬의 성질의 참, 거짓 추론하기 ㄱ. (반례) A=EA = E, B=12E\displaystyle B = \frac{1}{2} E이면 AB=A−BAB = A - B이지만 A−E=OA - E = O이므로 역행렬이 존재하지 않는다. (거짓) ㄴ. AB−A+B−E=−EAB - A + B - E = - E (B−E)(−A−E)E\left. ( B - E ) ( - A - E ) \right. E이므로 B−EB - E의 역행렬은 −A−E- A - E이다. (참) ㄷ. B−EB - E와 −(A+E)- ( A + E )가 역행렬이므로 −(B−E)(A+E)=E- ( B - E ) ( A + E ) = E −(A+E)(B−E)=E- ( A + E ) ( B - E ) = E에서 −BA−B+A+E=−AB+A−B+E- BA - B + A + E = - AB + A - B + E 이므로 AB=BAAB = BA이다. ∴(A+B)2=A2+2AB+B2\therefore ( A + B ) ^{2} = A ^{2} + 2 AB + B ^{2} (참)

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