A²X=X 해 조건 행렬

$A ^{2} X = X$ $\leftrightarrow$ $( A ^{2} - E ) X = O$ 만일 행렬 $( A ^{2} - E )$의 역행렬이 존재한다면 행렬$X$는 하나만 존재할 수 있으므로 문제의 조건처럼 행렬 $X$가 $2$개 이상 존재하기 위해서는 행렬$( A ^{2} - E )$의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. $\displaystyle A ^{2} - E = \begin{pmatrix} {6} & {2 + 2 a} \\ {3 + 3 a} & {5 + a ^{2}} \end{pmatrix}$ 이므로 $\det ( A ^{2} - E ) = 30 + 6 a ^{2} - 6 ( a + 1 ) ^{2} = 24 - 12 a = 0$ $\therefore$ $a = 2$ $\rightarrow$ $\displaystyle A = \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {2} \end{pmatrix}$, $\displaystyle A ^{- 1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} {- 2} & {2} \\ {3} & {- 1} \end{pmatrix}$ $\displaystyle A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 16 \\ 24 \end{matrix} \end{array} \right)$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \end{array} \right) = A ^{- 1} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 16 \\ 24 \end{matrix} \end{array} \right) = \frac{1}{4} {\begin{pmatrix} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 16 \\ 24 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \end{array} \right)$ $\therefore$ $p + q = 4 + 6 = 10$