A²X=X 해 조건 행렬

$\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {a} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {7} & {2 + 2 a} \\ {3 + 3 a} & {6 + a ^{2}} \end{pmatrix}$ $A ^{2} X = X \leftrightarrow \left( A ^{2} - E \right) X = O$ $\displaystyle \begin{pmatrix} {6} & {2 ( 1 + a )} \\ {3 ( 1 + a )} & {5 + a ^{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0} \\ {0} \end{pmatrix}$을 만족하는 행렬$X$가 $2$개 이상 존재한다는 것은 연립방정식의 해가 부정인 해를 가진다는 뜻이므로 $D = 6 ( 5 + a ^{2} ) - 6 ( 1 + a ) ^{2} = 0$에서 $a = 2$이고 $\displaystyle \therefore A = \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {2} \end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {p} \\ {q} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {16} \\ {24} \end{pmatrix}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} {p} \\ {q} \end{pmatrix} = - \frac{1}{4} \begin{pmatrix} {2} & {- 2} \\ {- 3} & {1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {16} \\ {24} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {4} \\ {6} \end{pmatrix}$ $\therefore p + q = 10$