A²=kE 최댓값

[출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 이차함수의 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $A + B = O$이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - 1 & b - 10 \\ a - 10 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & a + b - 10 \\ a + b - 10 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ∴$a + b = 10$ $\cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & - 1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 + ab & 0 \\ 0 & ab + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ ∴ $ab + 1 = k$ $\cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $k = ab + 1$$= a ( 10 - a ) + 1$$= - ( a - 5 ) ^{2} + 26$ 따라서 $k$의 최댓값은 $26$이다.