A+E의 역행렬

[출제의도] 행렬의 성질을 이해하여 역행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $A + B = E$에서 양변의 왼쪽에 $A$를 곱하면 $A ^{2} + AB = A$이고 $AB = O$을 대입하면 $A ^{2} - A = O$ $( A + E ) ( A - 2 E ) = - 2 E$ 에서 $\displaystyle ( A + E ) ^{-1} = - \frac{1}{2} ( A - 2 E )$$\displaystyle = - \frac{1}{2} ( E - B - 2 E )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( B + E )$ [다른 풀이] $A + B = E$, $AB = O$에서 두 식을 더하면 $A + B + AB = E$ $( A + E ) ( B + E ) = 2 E$ $\displaystyle \frac{1}{2} ( A + E ) ( B + E ) = E$ 따라서 $A + E$의 역행렬은 $\displaystyle \frac{1}{2} ( B + E )$이다.