공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

A²+E=O 행렬 보기

문제

이차정사각행렬 AA가 A2+E=OA ^{2} + E = O을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이고, OO는 영행렬이다.) [3점]

< 보 기 >
ㄱ. A+A−1=OA + A ^{- 1} = O ㄴ. A3−EA ^{3} - E의 역행렬이 존재한다. ㄷ. 모든 실수 kk에 대하여 A+kEA + k E의 역행렬이 존재한다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. A(−A)=EA ( - A ) = E 이므로 A−1=−AA ^{- 1} = - A (참) ㄴ. A3−E=−A−EA ^{3} - E = - A - E 이고 (−A−E)(12A−12E)=E\displaystyle \left( - A - E \right) \left( \frac{1}{2} A - \frac{1}{2} E \right) = E ∴A3−EA ^{3} - E 의 역행렬이 존재한다. (참) ㄷ. (A+kE)(A−kE)=A2−k2E=−(1+k2)E\left( A + k E \right) \left( A - kE \right) = A ^{2} - k ^{2} E = - \left( 1 + k ^{2} \right) E 에서 (A+kE)(−11+k2A+k1+k2E)=E\displaystyle \left( A + k E \right) \left( - \frac{1}{1 + k ^{2}} A + \frac{k}{1 + k ^{2}} E \right) = E ∴A+kEA + k E의 역행렬이 존재한다. (참)

태그

#역행렬#행렬의 성질#보기

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