공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

A-B의 역행렬

문제

이차정사각행렬 AA, BB에 대하여 AB=BA=EAB = BA = E, A2+B2=OA ^{2} + B ^{2} = O 가 성립할 때, 다음 중 A−BA - B의 역행렬은? (단, EE는 단위행렬이고, OO는 영행렬이다.) [4점] ①A+BA + B②−2(A−B)- 2 ( A - B )③−2(A+B)- 2 ( A + B )④12(A+B)\displaystyle \frac{1}{2} ( A + B )⑤−12(A−B)\displaystyle - \frac{1}{2} ( A - B )

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⑤

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해설

(A−B)2=A2−AB−BA+B2( A - B ) ^{2} = A ^{2} - AB - BA + B ^{2} =(A2+B2)−(AB+BA)=−2E= ( A ^{2} + B ^{2} ) - ( AB + BA ) = - 2 E →(A−B)(−12)(A−B)=E\displaystyle \rightarrow ( A - B ) \left( - \frac{1}{2} \right) \left( A - B \right) = E 따라서 A−BA - B의 역행렬은 −12(A−B)\displaystyle - \frac{1}{2} ( A - B ) [참고] A=12(1−111)\displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=12(11−11)\displaystyle B = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix}은 주어진 조건을 만족한다.

태그

#역행렬

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