(A+B)¹⁰⁰ 성분 합

[출제의도] 행렬의 거듭제곱을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. $( A + B ) ^{2} = ( A ^{2} + B ^{2} ) + ( AB + BA )$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - 4 & 0 \\ - \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $\displaystyle ( A + B ) ^{100} = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} ^{50} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 50 & 1 \end{pmatrix}$ 행렬 $( A + B ) ^{100}$의 모든 성분의 합은 $52$이다. [참고] $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$인 경우 성립.