대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

a²=b³=c⁴ 의 최솟값

문제

$1$ 이 아닌 세 자연수 $a , b , c$ 에 대하여 등식 $a ^{2} = b ^{3} = c ^{4} = k$ 를 만족하는 $k$ 값들 중 최소인 수를 $p$ 라 할 때, $\log _{4} p$ 의 값을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 지수법칙을 이용하여 로그 계산하기 $1$ 이 아닌 세 자연수 $a , b , c$ 에 대하여 $a ^{2} = b ^{3} = c ^{4} = k$ 를 만족하는 $k$ 는 $2 , 3 , 4$ 의 최소공배수가 $12$ 이므로 $k = 2 ^{12} , 3 ^{12} , 4 ^{12} , \cdots$ 따라서 $k$ 의 최소값은 $2 ^{12}$ 이므로 $p = 2 ^{12}$ ⇒ $\log _{4} 2 ^{12}$ $= 6$

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