공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

A+B=4E 보기 판정

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB에 대하여 A+B=4EA + B = 4 E일 때, 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. AB=BAAB = BA ㄴ. A2=B2A ^{2} = B ^{2}이면 A=BA = B이다. ㄷ. A2=−B2A ^{2} = - B ^{2}이면 A−1=18B\displaystyle A ^{- 1} = \frac{1}{8} B이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 추론하기 ㄱ. AB=A(4E−A)=4A−A2AB = A ( 4 E - A ) = 4 A - A ^{2}=(4E−A)A=BA= ( 4 E - A ) A = BA(참) ㄴ. A2=B2A ^{2} = B ^{2}이므로 (A−B)(A+B)=O( A - B ) ( A + B ) = O (단, OO는 영행렬)이고 (A+B)−1( A + B ) ^{- 1}이 존재하므로 A=BA = B (참) ㄷ. A2+B2=OA ^{2} + B ^{2} = O (단, OO는 영행렬) ㄱ에 의해 AB=BAAB = BA이므로 A2+B2=(A+B)2−2ABA ^{2} + B ^{2} = ( A + B ) ^{2} - 2 AB=16E−2AB=O= 16 E - 2 AB = O ∴AB=8E\therefore AB = 8 E이므로 A−1=18B\displaystyle A ^{- 1} = \frac{1}{8} B (참)

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