공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

A+A⁻¹=O 행렬 보기

문제

역행렬이 존재하는 이차정사각행렬 AA에 대하여 A+A−1=OA + A ^{- 1} = O 가 성립할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, A−1A ^{- 1}는 AA의 역행렬, OO는 영행렬, nn은 자연수이다.) [4점]

보 기
ㄱ. A3+(A−1)3=OA ^{3} + \left( A ^{- 1} \right) ^{3} = O ㄴ. A2n+(A−1)2n=OA ^{2 n} + \left( A ^{- 1} \right) ^{2 n} = O ㄷ. A5n+(A−1)5n=OA ^{5 n} + \left( A ^{- 1} \right) ^{5 n} = O

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
①

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해설

ㄱ. A−1=−AA ^{- 1} = - A이고 A2=−EA ^{2} = - E이므로 A3=−AA ^{3} = - A, (A−1)3=(−A)3=A\left( A ^{- 1} \right) ^{3} = ( - A ) ^{3} = A이다. 따라서, A3+(A−1)3=OA ^{3} + \left( A ^{- 1} \right) ^{3} = O (참) ㄴ. (반례) n=2n = 2일 때, A4+(A−1)4=2EA ^{4} + \left( A ^{- 1} \right) ^{4} = 2 E (거짓) ㄷ. (반례) n=2n = 2일 때, A10+(A−1)10=−2EA ^{10} + \left( A ^{- 1} \right) ^{10} = - 2 E (거짓)

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