공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

A+A⁻¹ 이용

문제

이차정사각행렬 AA에 대하여 A+A−1=(−1261)\displaystyle A + A ^{- 1} = \begin{pmatrix} - 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} 일 때, A2+(A2)−1A ^{2} + ( A ^{2} ) ^{- 1}의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 역행렬의 뜻을 이해하여 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. AA−1=A−1A=EA A ^{- 1} = A ^{- 1} A = E, (A2)−1=(A−1)2( A ^{2} ) ^{- 1} = ( A ^{- 1} ) ^{2}이고 (A+A−1)2( A + A ^{- 1} ) ^{2}=(−1261)(−1261)=(130013)=13E\displaystyle = \begin{pmatrix} - 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{pmatrix} = 13 E이므로 A2+(A2)−1A ^{2} + ( A ^{2} ) ^{- 1}=(A+A−1)2−2AA−1=13E−2E=11E= ( A + A ^{- 1} ) ^{2} - 2 AA ^{- 1} = 13 E - 2 E = 11 E 따라서 구하는 모든 성분의 합은 2222이다. [참고] 주어진 등식을 만족하는 행렬의 예 : A=(1132)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

태그

#역행렬

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