공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

A²=A 행렬 보기

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB에 대하여 A2=AA ^{2} = A이고 B=−AB = - A 일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. A3=AA ^{3} = A ㄴ. B2=−BB ^{2} = - B ㄷ. A+3EA + 3 E는 역행렬을 갖는다. (단, EE는 단위행렬이다.)

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. A2=AA ^{2} = A이므로 A3=A2=AA ^{3} = A ^{2} = A ∴A3=A\therefore A ^{3} = A ∴\therefore 참 ㄴ. B=−AB = - A에서 B2=A2B ^{2} = A ^{2} A2=AA ^{2} = A이므로 B2=AB ^{2} = A ∴B2=−B\therefore B ^{2} = - B ∴\therefore 참 ㄷ. A2−A=OA ^{2} - A = O를 변형하면 (A+3E)(A−4E)=−12E( A + 3 E ) ( A - 4 E ) = - 12 E ∴(A+3E)−1=−112A+13E\displaystyle \therefore ( A + 3 E ) ^{-1} = - \frac{1}{12} A + \frac{1}{3} E ∴\therefore 참 따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

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