공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

A²-3A+E=O 행렬 보기

문제

행렬 $A$ 는 $2$ 차 정사각행렬이고 $A ^{2} - 3 A + E = O$ 를 만족한다. ㄱ. 임의의 2차 정사각행렬 $B , C$ 에 대하여 $AB = AC$ 이면 $B = C$ 이다. ㄴ. $A - 3 E$ 의 역행렬이 존재한다. ㄷ. $\displaystyle A \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0} \\ {0} \end{pmatrix}$ 은 $x = 0 , y = 0$ 이외의 다른 해를 가질 수 있다.

위의 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $E$ 는 $2$ 차 단위행렬, $O$ 는 $2$ 차 영행렬이다.) [4점] ①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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③

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해설

$A ^{2} - 3 A + E = O$ 을 변형하면 $E = A ( 3 E - A )$ 이므로 $A$ 는 역행렬이 존재한다. ㄱ. $AB = AC$ 이면 $B = C$ 이다. $\because$ $A$ 의 역행렬이 존재하므로 ㄴ. $E = ( - A ) ( A - 3 E )$ 이므로 $A - 3 E$ 의 역행렬은 $- A$ 이다. ㄷ. $A$ 의 역행렬이 존재하므로 방정식 $\displaystyle A \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0} \\ {0} \end{pmatrix}$ 의 해는 $x = 0 , y = 0$ 만 가진다.

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