공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

A^2=A 행렬 보기

문제

단위행렬이 아닌 이차 정사각행렬 AA가 A2−A=OA ^{2} - A = O을 만족할 때, 다음 <보기> 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬, OO는 영행렬이다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. AA는 항상 역행렬이 존재하지 않는다. ㄴ. A+EA + E의 역행렬은 −12A+E\displaystyle - \frac{1}{2} A + E이다. ㄷ. −1- 1과 00이 아닌 실수 kk에 대하여 A+kEA + kE는 항상 역행렬이 존재한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 주어진 행렬 관계식을 통하여 행렬에 관한 성질을 연역적으로 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. AA의 역행렬이 존재하면 A−1(A2−A)=OA ^{-1} ( A ^{2} - A ) = O 즉, A=EA = E가 되어 모순이 된다. 따라서, AA는 역행렬이 존재하지 않는다. ∴\therefore참 ㄴ. A2−A=O↔A2−A−2E=−2E↔(A−2E)(A+E)=−2EA ^{2} - A = O \leftrightarrow A ^{2} - A - 2 E = - 2 E \leftrightarrow ( A - 2 E ) ( A + E ) = - 2 E 이므로 (A+E)−1=−12A+E\displaystyle ( A + E ) ^{-1} = - \frac{1}{2} A + E이다. ∴\therefore참 ㄷ. (A+kE)(A−(−k−1)E)=A2−A+k(−k−1)E( A + kE ) ( A - ( - k - 1 ) E ) = A ^{2} - A + k ( - k - 1 ) E =−k(k+1)E= - k ( k + 1 ) E −k(k+1)≠0- k ( k + 1 ) \ne 0일 때, A+kEA + kE는 역행렬을 갖는다. (A+kE)−1=1−k(k+1)A+k(−k−1)−k(k+1)E\displaystyle ( A + kE ) ^{-1} = \frac{1}{- k ( k + 1 )} A + \frac{k ( - k - 1 )}{- k ( k + 1 )} E ∴\therefore참

태그

#역행렬#보기

비슷한 문제 더 보기

공통수학1 문제 모음공통수학1 행렬과 그 연산 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로