대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

7^30 의 최고 자리

문제

양의 정수 $a , b$ 가 $1 \leq a \leq 9$ , $a \times 10 ^{b} < 7 ^{30} < ( a + 1 ) \times 10 ^{b}$ 을 만족할 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. (단, $\log _{10} 2 = 0.30$ , $\log _{10} 3 = 0.48$ , $\log _{10} 7 = 0.85$ 로 계산한다.) [4점]

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해설

[출제의도] 지표와 가수의 성질을 이해하여 활용하기 $\log _{10} 7 ^{30} = 30 \times 0.85 = 25.50$ $\log _{10} 2 = 0.30 , \log _{10} 3 = 0.48$ 이므로 $\log _{10} 3 < 0.5 < \log _{10} 4$ 양변에 $25$ 를 더하여 정리하면 $\log _{10} ( 3 \times 10 ^{25} ) < 25.5 = \log _{10} 7 ^{30} < \log _{10} ( 4 \times 10 ^{25} )$ $\therefore 3 \times 10 ^{25} < 7 ^{30} < 4 \times 10 ^{25}$ $\therefore a = 3 , b = 25$ 따라서, $a + b = 28$ 이다.

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