확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

4x4 문자 배열

문제

한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형을 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $16$ 개로 나누었다. 오른쪽 그림과 같이 문자 $a$ 를 정사각형의 대각선의 양 끝에 고정하여 문자 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 를 다음과 같은 규칙으로 배열하려고 한다.

$a$


			$a$

1) 각 행과 각 열에 문자가 중복되지 않게 배열한다. 2) $4$ 등분한 정사각형의 내부에 문자가 중복되지 않게 배열한다.

이 때, 배열할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점]

(바른 예) (틀린 예1) (틀린 예2)

$a$	$b$	$c$	$d$
$c$	$d$	$a$	$b$
$b$	$a$	$d$	$c$
$d$	$c$	$b$	$a$

$a$	$b$	$c$	$b$
$c$
$d$
$c$

$a$	$b$
$b$	$d$
		$c$	$b$
		$b$	$a$

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해설

[출제의도] 실생활에서 순열을 이용하여 경우의 수 구하기

$a$	$a _{12}$
$a _{21}$	$a _{22}$

		$a$

(ⅰ) $a _{12}$ , $a _{21}$ , $a _{22}$ 에는 $b$ , $c$ , $d$ 가 들어가야 하고 채우는 방법의 수는 $3 !$ 가지이다.

$a$	$b$
$c$	$d$	$a _{23}$	$a _{24}$
	$a _{32}$
	$a _{42}$		$a$

(ⅱ) $a _{12}$ , $a _{21}$ , $a _{22}$ 에 $b$ , $c$ , $d$ 를 채웠을 경우 $a _{23}$ , $a _{24}$ , $a _{32}$ , $a _{42}$ 에는 각각 $a$ , $b$ , $a$ , $c$ 가 채워져야 한다.

$a$	$b$	$a _{13}$	$a _{14}$
$c$	$d$	$a$	$b$
$a _{31}$	$a$	$a _{33}$	$a _{34}$
$a _{41}$	$c$	$a _{43}$	$a$

(ⅲ) $a _{13}$ , $a _{14}$ 에는 $c$ , $d$ 가, $a _{31}$ , $a _{41}$ 에는 $b$ , $d$ 가 채워져야 한다. ( $2 \times 2 = 4$ 가지) $4$ 가지 중 $a _{13}$ , $a _{31}$ 에 $d$ 가 채워지는 경우는 모순이 생기므로 $a _{13}$ , $a _{14}$ , $a _{31}$ , $a _{41}$ 를 채우는 방법의 수는 $3$ 가지이다. $a _{33}$ , $a _{34}$ , $a _{43}$ 을 채우는 방법은 각각 $c$ , $d$ , $b$ 로 채우는 한 가지이다. 따라서 경우의 수는 $3 ! \times 3 = 18$ (가지)이다,

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