4의 배수 조건 점화식

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 항의 값을 추론한다. 조건 (나)에서 $a _{3} > a _{5}$이므로 $a _{3}$이 $4$의 배수인 경우와 $4$의 배수가 아닌 경우로 나누어 생각하자. (ⅰ) $a _{3}$이 $4$의 배수인 경우 $a _{3} = 4 k$($k$는 자연수)라 하면 $a _{4} = 2 k + 6$ $k$가 홀수일 때 $a _{4}$는 $4$의 배수이고 $a _{5} = k + 11$, $a _{4} + a _{5} = 3 k + 17$이므로 $50 < 3 k + 17 < 60$, $a _{3} > a _{5}$에서 $\displaystyle k > \frac{11}{3}$ $k$는 홀수이므로 $k = 13$이고 $a _{3} = 52$ $k$가 짝수일 때 $a _{4}$는 $4$의 배수가 아니고 $a _{5} = 2 k + 14$, $a _{4} + a _{5} = 4 k + 20$이므로 $50 < 4 k + 20 < 60$, $a _{3} > a _{5}$에서 $k > 7$ $k$는 짝수이므로 $k = 8$이고 $a _{3} = 32$ 따라서 $a _{3} = 52$ 또는 $a _{3} = 32$ $a _{3} = 52$인 경우 $a _{2} = 96$이고 $a _{1} = 94$ 또는 $a _{1} = 188$ $a _{3} = 32$인 경우 $a _{2} = 56$이고 $a _{1} = 54$ 또는 $a _{1} = 108$ (ⅱ) $a _{3}$이 $4$의 배수가 아닌 경우 $a _{3} = 4 k - 1$ 또는 $a _{3} = 4 k - 3$($k$는 자연수)일 때 $a _{3}$, $a _{4}$, $a _{5}$는 모두 홀수이고 $a _{5} = a _{4} + 8 = a _{3} + 14 > a _{3}$ 이므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다. $a _{3} = 4 k - 2$($k$는 자연수)일 때 $a _{4} = 4 k + 4$, $a _{5} = 2 k + 10$이고 $a _{4} + a _{5} = 6 k + 14$이므로 $50 < 6 k + 14 < 60$ $a _{3} > a _{5}$에서 $k > 6$, 이때 $k = 7$이므로 $a _{3} = 26$ 따라서 $a _{2} = 22$ 또는 $a _{2} = 44$이다. $a _{2} = 22$인 경우 $a _{1} = 40$ $a _{2} = 44$인 경우 $a _{1} = 42$ 또는 $a _{1} = 84$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $M = 188$, $m = 40$이고 $M + m = 228$