3의 배수 중 9가 포함될 확률

$3$의 배수인 세 자리 자연수를 작은 수부터 차례로 나열하면 첫째항은 $102$, 끝항은 $999$이고, 공차가 $3$인 등차수열을 이룬다. $999 = 102 + ( n - 1 ) \cdot 3$에서 $n = 300$이므로 $3$의 배수인 세 자리 자연수는 총 $300$개이다. 또한 $3$의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 $3$의 배수이므로 어느 한 자리에 $9$가 포함된 $3$의 배수는 나머지 두 자리 수의 합이 $3$의 배수이다. 이때, $9$를 제외한 두 자리 수를 순서쌍으로 나타내면 합이 $0$인 경우 $( 0 , 0 )$ 합이 $3$인 경우 $( 0 , 3 )$, $( 1 , 2 )$ 합이 $6$인 경우 $( 0 , 6 )$, $( 1 , 5 )$, $( 2 , 4 )$, $( 3 , 3 )$ 합이 $9$인 경우 $( 0 , 9 )$, $( 1 , 8 )$, $( 2 , 7 )$, $( 3 , 6 )$, $( 4 , 5 )$ 합이 $12$인 경우 $( 3 , 9 )$, $( 4 , 8 )$, $( 5 , 7 )$, $( 6 , 6 )$ 합이 $15$인 경우 $( 6 , 9 )$, $( 7 , 8 )$ 합이 $18$인 경우 $( 9 , 9 )$ 위의 각 경우에 $9$를 포함시켜 $3$의 배수인 세 자리의 자연수를 구하면 (ⅰ) $( 0 , 0 , 9 )$, $( 9 , 9 , 9 )$인 경우: $900 , 999$의 $2$개 (ⅱ) $( 0 , 9 , 9 )$인 경우: $990 , 909$의 $2$개 (ⅲ) $( 0 , 3 , 9 ) , ( 0 , 6 , 9 )$와 같이 $0$이 포함되고 각 자리 수가 다른 경우: $( 2 \times 2 \times 1 ) \times 2 = 8$(개) (ⅳ) $( 1 , 2 , 9 )$와 같이 $0$이 포함되지 않고 각 자리 수가 다른 경우: $0$이 포함되지 않고 각 자리 수가 다른 경우가 총 $10$가지이므로 $( 3 \times 2 \times 1 ) \times 10 = 60$(개) (ⅴ) $( 3 , 3 , 9 )$와 같이 같은 수가 $2$개 포함된 경우: 같은 수가 $2$개 포함된 경우가 총 $4$개이므로 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} \times 4 = 12$(개) 따라서 일의 자리의 수 또는 십의 자리의 수 또는 백의 자리의 수가 $9$인 자연수의 개수가 $2 + 2 + 8 + 60 + 12 = 84$이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{84}{300} = \frac{7}{25}$