공통수학2집합AI기본 문제 (3점 중반)

3의 배수 중 5의 배수가 아닌 수의 개수

문제

전체집합 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , 100 \right\}$ 의 부분집합 $A _{n}$ 을 $A _{n} = \left\{ x \left| x \in U , x \right. \right.$ 는 $n$ 의 배수 $\}$ 이라 하자. (단, $n$ 은 자연수이다.) $n ( A _{3} \cap A _{5} ^{\mathrm{C}} )$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$A _{3} \cap A _{5} ^{\mathrm{C}} = A _{3} - A _{5}$ 이므로 구하는 값은 $3$ 의 배수 중 $5$ 의 배수가 아닌 것의 개수이다. $n ( A _{3} - A _{5} ) = n ( A _{3} ) - n ( A _{3} \cap A _{5} )$ $100 = 3 \times 33 + 1$ 이므로 $n ( A _{3} ) = 33$ $A _{3} \cap A _{5}$ 는 $3$ 과 $5$ 의 공배수, 즉 $15$ 의 배수의 집합이고 $100 = 15 \times 6 + 10$ 이므로 $n ( A _{3} \cap A _{5} ) = n ( A _{15} ) = 6$ 따라서 $n ( A _{3} \cap A _{5} ^{\mathrm{C}} ) = 33 - 6 = 27$

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