3의 배수 제외 원소 개수

[출제의도] 약수ㆍ배수를 구하고 집합의 연산을 통하여 원소를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 집합 $X$ 의 각 원소 $x$에 대하여 집합 $Y$ 의 원소를 차례로 구해보면 다음과 같다. $x = 1 : 1 ^{2} + 1 + 1 = 3$ $x = 2 : 2 ^{2} + 2 + 1 = 7$ $x = 3 : 3 ^{2} + 3 + 1 = 13$ $x = 4 : 4 ^{2} + 4 + 1 = 21$ $x = 5 : 5 ^{2} + 5 + 1 = 31$ $x = 6 : 6 ^{2} + 6 + 1 = 43$ $x = 7 : 7 ^{2} + 7 + 1 = 57$ $x = 8 : 8 ^{2} + 8 + 1 = 73$ $x = 9 : 9 ^{2} + 9 + 1 = 91$ $x = 10 : 10 ^{2} + 10 + 1 = 111$ $\vdots$ ∴ $Y = \left\{ 3 , 7 , 13 , 21 , 31 , 43 , 57 , 73 , 91 , 111 , \cdots , 10101 \right\}$ 집합 $Y$의 원소 중 $3$의 배수인 것을 구해보면 $Z = \left\{ 3 , 21 , 57 , 111 , \cdots , 10101 \right\}$ ∴$X \cap Z = \left\{ 3 , 21 , 57 \right\}$ ∴$n ( X - Z )$$= n ( X ) - n ( X \cap Z )$$= 100 - 3 = 97$ [다른풀이] $f ( x ) = x ^{2} + x + 1 = ( x + 2 ) ( x - 1 ) + 3$으로 놓으면 $( x + 2 ) ( x - 1 )$이 3의 배수일 때, $f ( x )$는 3의 배수이다. 즉, $x + 2$가 3의 배수일 때, $f ( x )$는 3의 배수이다. $x + 2$가 3의 배수인 경우는 $x = 1 , 4 , 7 , 10 , \cdots$이고 이때 $f ( x )$의 값은 $3 , 21 , 57 , 111 , \cdots$ 임을 알 수 있다.