대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

3의 배수 아닌 항 수열

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} {} a _{k} = n ^{2} + cn$ ( $c$ 는 자연수) 를 만족시킨다. 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 각 항 중에서 $3$ 의 배수가 아닌 수를 작은 것부터 크기순으로 모두 나열하여 얻은 수열을 $\left\{ b _{n} \right\}$ 이라 하자. $b _{20} = 199$ 가 되도록 하는 모든 $c$ 의 값의 합을 구하시오. [4점]

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282

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해설

$a _{n} = S _{n} - S _{n-1}$ $= ( n ^{2} + cn ) - ( n - 1 ) ^{2} - c ( n - 1 )$ $= 2 n - 1 + c$ 수열 { $a _{n}$ }을 30번째항까지 나열하면 $1 + c$ , $3 + c$ , $5 + c$ , $\cdots$ , $55 + c$ , $57 + c$ , $59 + c$ 따라서 $b _{20}$ 은 $57 + c$ 또는 $59 + c$ 이므로 $57 + c = 199$ , $59 + c = 199$ $c = 142$ 또는 $140$ $\therefore$ $142 + 140 = 282$

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