공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

√2+√6 의 정수부분

문제

실수 $x$ 에 대하여 $n \leq x < n + 1$ 을 만족하는 정수 $n$ 을 $x$ 의 정수부분이라고 한다. 다음은 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 의 정수부분을 구하는 과정이다. (단, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 정수이다.)

$\displaystyle x = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 으로 놓으면 $\displaystyle x ^{2} = 8 + \sqrt{a}$ 그런데, $\displaystyle \sqrt{a}$ 의 정수부분은 $b$ 이므로 $c \leq x ^{2} < c + 1$ 이다. 따라서 $d \leq x < d + 1$ 이므로 $\displaystyle x = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 의 정수부분은 $d$ 이다.

위의 과정에서 네 정수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 의 합 $a + b + c + d$ 의 값은? [4점] ① $65$ ② $68$ ③ $71$ ④ $74$ ⑤ $77$

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③

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해설

[출제의도] 실수의 정수부분을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle x = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 으로 놓으면 $\displaystyle x ^{2} = 2 + 6 + 2 \sqrt{12} = 8 + \sqrt{48}$ 이때 $6 ^{2} < 48 < 7 ^{2}$ 이므로 $\displaystyle 6 < \sqrt{48} < 7$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sqrt{48}$ 의 정수부분은 $6$ 이다. 따라서 $14$ $<$ $x ^{2}$ $<$ $15$ 이므로 $c = 14$ 이고 $\displaystyle \sqrt{14} < x < \sqrt{15}$ 에서 $\displaystyle 3 < \sqrt{14} < \sqrt{15} < 4$ 이므로 $3 < x < 4$ 따라서 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 의 정수부분은 $3$ 이다. ∴ $a + b + c + d$ $= 48 + 6 + 14 + 3 = 71$

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