2ⁿ, 5ⁿ 지표 보기

[출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이해하는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $2 ^{10} = 1024$로 네 자리 수이므로 지표는 $3$이다. ∴ $f ( 10 ) = 3$ $\therefore$참 ㄴ. $\log 2 ^{n} = n \log 2 = f ( n ) + \alpha$ ($0 < \alpha < 1$) $\log 5 ^{n} = n \log 5 = g ( n ) + \beta$ ($0 < \beta < 1$)에서 $\log 2 ^{n} + \log 5 ^{n} = f ( n ) + g ( n ) + \alpha + \beta$ ∴ $n = f ( n ) + g ( n ) + \alpha + \beta$ 여기서 $n , f ( n ) , g ( n )$이 모두 정수이므로 $\alpha + \beta$도 정수이다. 즉, $\alpha + \beta = 1$이다. ∴ $f ( n ) + g ( n ) = n - 1$ $\therefore$거짓 ㄷ. ㄴ에서 $f ( n ) + g ( n ) = n - 1$이므로 $f ( n ) + 1 + g ( n ) + 1 = n - 1 + 2 = n + 1$이다. 따라서 $2 ^{n}$의 자릿수와 $5 ^{n}$의 자릿수의 합은 $10 ^{n}$의 자릿수인 $n + 1$과 같다. $\therefore$참