대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

(2+√3)ⁿ 전개계수의 성질 판정

문제

(2+3)n=an+bn3\displaystyle ( 2 + \sqrt{3} ) ^{n} = a _{n} + b _{n} \sqrt{3} 일 때, 다음 [보기]에서 옳은 것을 고르면? (단, nn은 자연수)

< 보 기 >
Ⅰ. an,bna _{n} , b _{n}은 정수 Ⅱ. an또는bna _{n} \text{또는} b _{n}을 00으로 하는 nn은 무수히 많다. Ⅲ. n≥1n \geq 1일 때, an>bna _{n} > b _{n}이다.
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Ⅰ,Ⅲ

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해설

an+1+bn+13=(an+bn3)(2+3)\displaystyle a _{n+1} + b _{n+1} \sqrt{3} = ( a _{n} + b _{n} \sqrt{3} ) ( 2 + \sqrt{3} ) 이므로 식을 정리하면 an+1=2an+3bn⋯(1)a _{n+1} = 2 a _{n} + 3 b _{n} \cdots ( 1 ) bn+1=an+2bn⋯(2)b _{n+1} = a _{n} + 2 b _{n} \cdots ( 2 ) Ⅰ. a1=2,b1=1a _{1} = 2 , b _{1} = 1 양의 정수이므로 an,bna _{n} , b _{n}은 항상 정수가 된다. (참) Ⅱ. an,bna _{n} , b _{n}은 항상 양의 정수이다. (거짓) Ⅲ. an+1−bn+1=an+bna _{n+1} - b _{n+1} = a _{n} + b _{n}이므로 항상 양의 정수이다. (참)

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#정수수열#귀납적정의

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