공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

1의 세제곱근을 이용한 식의 값

문제

ω2+ω+1=0\omega ^{2} + \omega + 1 = 0일 때, 임의의 두 복소수 α\alpha와 β\beta에 대하여 x=α−β,y=αω−βω2x = \alpha - \beta , y = \alpha \omega - \beta \omega ^{2},, z=αω2−βωz = \alpha \omega ^{2} - \beta \omega라 하자. x3+y3+z3x ^{3} + y ^{3} + z ^{3}을 α\alpha와 β\beta에 관한 식으로 나타낸 것은? ①α3−2α2β+2αβ2−β3\alpha ^{3} - 2 \alpha ^{2} \beta + 2 \alpha \beta ^{2} - \beta ^{3}②α3−β3\alpha ^{3} - \beta ^{3}③3(α3−2α2β+2αβ2−β3)3 ( \alpha ^{3} - 2 \alpha ^{2} \beta + 2 \alpha \beta ^{2} - \beta ^{3} )④3(α3−β3)3 ( \alpha ^{3} - \beta ^{3} )⑤3(α−β)33 ( \alpha - \beta ) ^{3}

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④

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해설

ω2+ω+1=0\omega ^{2} + \omega + 1 = 0이고 ω≠1\omega \ne 1이므로 (ω−1)(ω2+ω+1)=ω3−1=0( \omega - 1 ) ( \omega ^{2} + \omega + 1 ) = \omega ^{3} - 1 = 0에서 ω3=1\omega ^{3} = 1 x+y+zx + y + z=α(1+ω+ω2)+β(1+ω+ω2)= \alpha ( 1 + \omega + \omega ^{2} ) + \beta ( 1 + \omega + \omega ^{2} )=0= 0이므로 x3+y3+z3=3xyzx ^{3} + y ^{3} + z ^{3} = 3 xyz (∵ x3+y3+z3−3xyzx ^{3} + y ^{3} + z ^{3} - 3 xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)= ( x + y + z ) ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} - xy - yz - zx )) 3xyz3 xyz=3(α−β)(αω−βω2)(αω2−βω)= 3 ( \alpha - \beta ) ( \alpha \omega - \beta \omega ^{2} ) ( \alpha \omega ^{2} - \beta \omega ) =3(α−β)(α2ω3−αβω2−αβω4+β2ω3)= 3 ( \alpha - \beta ) ( \alpha ^{2} \omega ^{3} - \alpha \beta \omega ^{2} - \alpha \beta \omega ^{4} + \beta ^{2} \omega ^{3} ) =3(α−β)(α2+αβ+β2)= 3 ( \alpha - \beta ) ( \alpha ^{2} + \alpha \beta + \beta ^{2} ) (∵ ω2+ω=−1\omega ^{2} + \omega = - 1, ω3=1\omega ^{3} = 1) =3(α3−β3)= 3 ( \alpha ^{3} - \beta ^{3} )

태그

#1의 세제곱근#인수분해 공식

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