1의 세제곱근 허근

[출제의도] 간단한 삼차방정식을 풀어 추론하기 ㄱ. $x ^{3} - 1 = 0$에서 $\omega ^{3} = 1$이므로 $\omega ^{10} = \left( \omega ^{3} \right) ^{3} \omega = \omega$(참) ㄴ. $\omega ^{2} + \omega + 1 = 0$, $\displaystyle {\overline{\omega}} ^{2} + {\overline{\omega}} + 1 = 0$이므로 $\displaystyle \frac{\omega ^{2}}{1 + \omega} + \frac{{\overline{\omega}}}{1 + {\overline{\omega ^{2}}}} = - 2$(참) ㄷ. $\omega ^{4 n} + \left( \omega + 1 \right) ^{4 n} + 1$ $= \left( \omega ^{3} \omega \right) ^{n} + \left( - \omega ^{2} \right) ^{4 n} + 1$ $= \left( \omega ^{3} \omega \right) ^{n} + \left( \omega ^{3} \right) ^{2 n} \omega ^{2 n} + 1$ $= \omega ^{n} + \omega ^{2 n} + 1 = \omega ^{2 n} + \omega ^{n} + 1$ (ⅰ) $n = 3 k$ $\left( k = 1 , 2 , 3 , \cdots \right)$이면 $\omega ^{2 n} = 1$, $\omega ^{n} = 1$이므로 $\omega ^{2 n} + \omega ^{n} + 1 = 3$ (ⅱ) $n = 3 k + 1$$\left( k = 0 , 1 , 2 , \cdots \right)$이면 $\omega ^{6 k + 2} + \omega ^{3 k + 1} + 1 = \omega ^{2} + \omega + 1 = 0$ (ⅲ) $n = 3 k + 2$$\left( k = 0 , 1 , 2 , \cdots \right)$이면 $\omega ^{6 k + 4} + \omega ^{3 k + 2} + 1$ $= \omega ^{4} + \omega ^{2} + 1 = \omega + \omega ^{2} + 1 = 0$ 그러므로 $\omega ^{4 n} + \left( \omega \right) ^{4 n} + 1 = 0$을 만족시키는 $30$이하의 양의 정수 $n$의 개수는 $30 -$($30$이하의 $3$의 배수의 개수)$= 30 - 10 = 20$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ