1의 5제곱근과 반직선

$\displaystyle A = \left\{ \alpha \left| \alpha - 1 = r \left( \cos \frac{3}{4} \pi + i \sin \frac{3}{4} \pi \right) \right\} \right.$ $\displaystyle \alpha = 1 + r \cos \frac{3}{4} \pi + i r \sin \frac{3}{4} \pi ( r \geq 0 )$ $\displaystyle z ^{5} = 1 , z = \cos \frac{2 k \pi}{5} + i \sin \frac{2 k \pi}{5}$, $k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4$ $\displaystyle \alpha z = \left( 1 + r \cos \frac{3}{4} \pi + i r \sin \frac{3}{4} \pi \right) \left( \cos \frac{2 k \pi}{5} + i \sin \frac{2 k \pi}{5} \right)$ $\displaystyle = \left( 1 + r \cos \frac{3}{4} \pi \right) \cos \frac{2 k \pi}{5} - r \sin \frac{3}{4} \pi \sin \frac{2 k \pi}{5}$ $\displaystyle + i \left\{ \left( 1 + r \cos \frac{3}{4} \pi \right) \sin \frac{2 k \pi}{5} + r \sin \frac{3}{4} \pi \cos \frac{2 k \pi}{5} \right\}$ $\alpha z \in R$이려면 허수부가 $0$이어야 하므로 $\displaystyle \left( 1 + r \cos \frac{3}{4} \pi \right) \sin \frac{2 k \pi}{5} + r \sin \frac{3}{4} \pi \cos \frac{2 k \pi}{5} = 0$ $\displaystyle \sin \frac{2 k \pi}{5} + r \sin \left( \frac{2 k \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) = 0$ ⅰ) $k = 0$이면 $r = 0$이 되어 실수가 된다. ⅱ) $k = 1$이면 $\displaystyle \sin \frac{2 \pi}{5} + r \sin \left( \frac{2 \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) = 0$ $\displaystyle \sin \frac{2 \pi}{5} > 0 , \sin \left( \frac{2 \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) < 0$이므로 실수가 된다. ⅲ) $k = 2$이면 $\displaystyle \sin \frac{4 \pi}{5} + r \sin \left( \frac{4 \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) = 0$ $\displaystyle \sin \frac{4 \pi}{5} > 0 , \sin \left( \frac{4 \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) < 0$이므로 실수가 된다. ⅳ) $k = 3$이면 $\displaystyle \sin \frac{6 \pi}{5} + r \sin \left( \frac{6 \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) = 0$ $\displaystyle \sin \frac{6 \pi}{5} < 0 , \sin \left( \frac{6 \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) < 0$이므로 실수가 되지 않는다. ⅴ) $k = 4$이면 $\displaystyle \sin \frac{8 \pi}{5} + r \sin \left( \frac{8 \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) = 0$ $\displaystyle \sin \frac{8 \pi}{5} < 0 , \sin \left( \frac{8 \pi}{5} + \frac{3 \pi}{4} \right) < 0$이므로 실수가 된다. $k = 0 , 1 , 2 , 4$의 $4$가지이다.