공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

10의 배수 성질 증명 빈칸

문제

다음은 두 자연수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $x ^{2} + xy + y ^{2}$ 이 $10$ 의 배수이면 $x$ 와 $y$ 가 어떤 성질을 가짐을 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]

$N = x ^{2} + xy + y ^{2}$ 이라 하고 $N$ 이 $10$ 의 배수라 하자. $N$ 이 $10$ 의 배수이므로 $x , y$ 는 모두 짝수이다. 만일 $x , y$ 중 하나만 $10$ 의 배수이면 $N$ 은 $10$ 의 배수가 아니다. 한편, $x , y$ 가 모두 $10$ 의 배수가 아니면 $x ^{2}$ 과 $y ^{2}$ 의 일의 자리의 수는 $4$ 또는 $6$ 이다. (ⅰ) $x ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 $4$ 이고 $y ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 $6$ 인 경우에 $x$ 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $2$ 또는 $8$ 뿐이고, $y$ 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $4$ 또는 $6$ 뿐이다. 따라서 $xy$ 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $\square {\text{(가)}}$ 뿐이므로 $N$ 은 $10$ 의 배수가 아니다. (ⅱ) $x ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 $6$ 이고 $y ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 $4$ 인 경우에는 (ⅰ)의 경우와 마찬가지로 $N$ 은 $10$ 의 배수가 아니다. (ⅲ) $x ^{2}$ 과 $y ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 모두 $4$ 이거나 모두 $6$ 인 경우에 (ⅰ)의 경우처럼 하면 $xy$ 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $\square {\text{(나)}}$ 뿐이므로 $N$ 은 $10$ 의 배수가 아니다. 따라서 $x ^{2} + xy + y ^{2}$ 이 $10$ 의 배수이면 $\square {\text{(다)}}$ $10$ 의 배수이다.

위의 빈칸 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ① $4$ 또는 $6$ $2$ 또는 $8$ $x , y$ 는 모두② $4$ 또는 $6$ $4$ 또는 $6$ $x , y$ 는 모두③ $2$ 또는 $8$ $4$ 또는 $6$ $x , y$ 는 모두④ $2$ 또는 $8$ $2$ 또는 $8$ $x , y$ 중 하나만⑤ $2$ 또는 $4$ $6$ 또는 $8$ $x , y$ 중 하나만

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③

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해설

(ⅰ) $x ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 $4$ 이고 $y ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 $6$ 인 경우에 $x$ 의 일의 자리의 수는 $2$ 또는 $8$ 뿐이고, $y$ 의 일의 자리의 수는 $4$ 또는 $6$ 뿐이다. 따라서 $xy$ 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 $2 \times 4 = 8 , 2 \times 6 = 12 , 8 \times 4 = 32 , 8 \times 6 = 48$ 에서 ( $2$ 또는 $8$ ) 뿐이므로 $N$ 은 $10$ 의 배수가 아니다. (ⅲ) $x ^{2}$ 과 $y ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 모두 $6$ 이거나 모두 $4$ 인 경우에 (ⅰ)의 경우처럼 하면 $xy$ 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 a) $x ^{2}$ 과 $y ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 모두 $4$ 인 경우 : $x$ 의 일의 자리의 수는 $2$ 또는 $8$ $y$ 의 일의 자리의 수는 $2$ 또는 $8$ 따라서 $x y$ 의 일의 자리의 수는 $2$ 또는 $6$ 이다. b) $x ^{2}$ 과 $y ^{2}$ 의 일의 자리의 수가 모두 $6$ 인 경우 : $x$ 의 일의 자리의 수는 $4$ 또는 $6$ $y$ 의 일의 자리의 수는 $4$ 또는 $6$ 따라서 $x y$ 의 일의 자리의 수는 $4$ 또는 $6$ 이다. 따라서, $x ^{2} + xy + y ^{2}$ 이 $10$ 의 배수이면 $x , y$ 는 모두 $10$ 의 배수이다.

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