0과 1 성분 행렬 집합

$\displaystyle S = \left\{ \begin{array}{lll} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array} \right\}$에서 ㄱ. $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle B = {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}}$이라 하면 $\displaystyle A + B = {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 2 & & 2 \end{pmatrix}}$ 이므로 성분이 모두 짝수인 것은 아니다. ∴ 거짓 ㄴ. 각각의 원소인 행렬을 $a$번, $b$번, $c$번, $d$번 선택하여 더한다면 $\displaystyle a {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} + b {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} + c {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}} + d {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} b + c + d & & a + c + d \\ a + b + d & & a + b + c \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 9 & & 9 \\ 9 & & 9 \end{pmatrix}}$

$3 \left( a + b + c + d \right) = 36$ $a + b + c + d = 12$ ∴ $a = b = c = d = 3$ 즉 각각의 행렬을 $3$번씩 선택하여 더하면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 9 & & 9 \\ 9 & & 9 \end{pmatrix}}$를 만들 수 있다. ∴ 참 ㄷ. $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & & 3 \\ 5 & & 7 \end{pmatrix}} + a {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} + b {\begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 1 & & 1 \end{pmatrix}} + c {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}} + d {\begin{pmatrix} 1 & & 1 \\ 1 & & c \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} 1 & & 3 \\ 5 & & 7 \end{pmatrix}} + {\begin{pmatrix} b + c + d & & a + c + d \\ a + b + d & & a + b + c \end{pmatrix}}$ $\left( a + b + c + d = n \right)$ 의 성분이 모두 짝수가 되려면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} b + c + d & & a + c + d \\ a + b + d & & a + b + c \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} n - a & & n - b \\ n - c & & n - d \end{pmatrix}}$의 성분이 모두 홀수가 되어야 한다. $n$이 홀수이면 $n - a$, $n - b$, $n - c$, $n - d$ 모두 홀수이어야 되므로 $a$, $b$, $c$, $d$ 모두 짝수이다. 이것은 $a + b + c + d = n$에서 짝수 네 개의 합은 짝수이므로 모순 ∴ $n$은 짝수, $a$, $b$, $c$, $d$는 모두 홀수 ∴ $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, $d = 1$일 때, $n = a + b + c + d = 1 + 1 + 1 + 1$ $4$가 조건을 만족시키는 $n$의 최솟값이 된다.