공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

0과 1 성분 행렬 집합

문제

집합 SS가 S={(0111),(1011),(1101),(1110)}\displaystyle S = \left\{ \begin{array}{lll} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array} \right\}일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] [보 기]

ㄱ. 집합 SS에 속하는 서로 다른 두 행렬 AA, BB에 대하여 행렬 A+BA + B의 성분은 모두 짝수이다. ㄴ. 집합 SS에 속하는 행렬 중에서 중복을 허락하여 mm개의 행렬 A1A _{1}, A2A _{2}, ⋯\cdots, AmA _{m}을 선택하였을 때, A1+A2+⋯+Am=(9999)\displaystyle A _{1} + A _{2} + \cdots + A _{m} = \begin{pmatrix} 9 & 9 \\ 9 & 9 \end{pmatrix} 가 되도록 하는 mm이 존재한다. ㄷ. 집합 SS에 속하는 행렬 중에서 중복을 허락하여 nn개의 행렬 A1A _{1}, A2A _{2}, ⋯\cdots, AnA _{n}을 선택하였을 때, 행렬 (1357)+A1+A2+⋯+An\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} + A _{1} + A _{2} + \cdots + A _{n}의 성분이 모두 짝수가 되도록 하는 nn의 최솟값은 44이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

S={(0111),(1011),(1101),(1110)}\displaystyle S = \left\{ \begin{array}{lll} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array} \right\}에서 ㄱ. A=(0111)\displaystyle A = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right), B=(1101)\displaystyle B = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right)이라 하면 A+B=(1212)\displaystyle A + B = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right) 이므로 성분이 모두 짝수인 것은 아니다. ∴ 거짓 ㄴ. 각각의 원소인 행렬을 aa번, bb번, cc번, dd번 선택하여 더한다면 a(0111)+b(1101)+c(1011)+d(1110)\displaystyle a \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) + b \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) + c \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) + d \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right) =(b+c+da+c+da+c+da+b+c)=(9999)\displaystyle = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} b + c + d \\ a + c + d \end{matrix} \begin{matrix} a + c + d \\ a + b + c \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 9 \\ 9 \end{matrix} \begin{matrix} 9 \\ 9 \end{matrix} \end{array} \right)

+)+ )b+c+d=9b + c + d = 9 a+c+d=9a + c + d = 9 a+b+d=9a + b + d = 9 a+b+c=9a + b + c = 9

3(a+b+c+d)=363 \left( a + b + c + d \right) = 36 　a+b+c+d=12a + b + c + d = 12 ∴ a=b=c=d=3a = b = c = d = 3 즉 각각의 행렬을 33번씩 선택하여 더하면 (9999)\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 9 \\ 9 \end{matrix} \begin{matrix} 9 \\ 9 \end{matrix} \end{array} \right)를 만들 수 있다. ∴ 참 ㄷ. (1537)+a(0111)+b(1101)+c(1011)+d(111c)\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix} \end{array} \right) + a \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) + b \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) + c \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) + d \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ c \end{matrix} \end{array} \right) =(1537)+(b+c+da+b+da+c+da+b+c)\displaystyle = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} b + c + d \\ a + b + d \end{matrix} \begin{matrix} a + c + d \\ a + b + c \end{matrix} \end{array} \right) (a+b+c+d=n)\left( a + b + c + d = n \right) 의 성분이 모두 짝수가 되려면 (b+c+da+b+da+c+da+b+c)=(n−an−cn−bn−d)\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} b + c + d \\ a + b + d \end{matrix} \begin{matrix} a + c + d \\ a + b + c \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} n - a \\ n - c \end{matrix} \begin{matrix} n - b \\ n - d \end{matrix} \end{array} \right)의 성분이 모두 홀수가 되어야 한다. nn이 홀수이면 n−an - a, n−bn - b, n−cn - c, n−dn - d 모두 홀수이어야 되므로 aa, bb, cc, dd 모두 짝수이다. 이것은 a+b+c+d=na + b + c + d = n에서 짝수 네 개의 합은 짝수이므로 모순 ∴ nn은 짝수, aa, bb, cc, dd는 모두 홀수 ∴ a=1a = 1, b=1b = 1, c=1c = 1, d=1d = 1일 때, n=a+b+c+d=1+1+1+1n = a + b + c + d = 1 + 1 + 1 + 1 44가 조건을 만족시키는 nn의 최솟값이 된다.

태그

#행렬의 덧셈#홀짝

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