윷짝이 뒤집힐 확률의 범위

뒤집어질 확률을 $p$라 하면 도, 개, 걸, 윷, 모가 나올 확률은 이항분포 $B ( 4 , p )$로부터 구할 수 있으며 다음과 같다.

철수의 주장이 참이 되기 위해서 ${}_{4} C _{2} p ^{2} ( 1 - p ) ^{2} > _{4} C _{3} p ^{3} ( 1 - p ) > _{4} C _{1} p ( 1 - p ) ^{3}$$> _{4} C _{4} p ^{4} > _{4} C _{0} ( 1 - p ) ^{4}$ 을 만족해야 한다. 각각의 대소를 만족하는 $p$값의 범위를 구하면 1) ${}_{4} C _{2} p ^{2} ( 1 - p ) ^{2} > _{4} C _{3} p ^{3} ( 1 - p )$ : $6 ( 1 - p ) > 4 p$ $\displaystyle \therefore p < \frac{3}{5}$ 2) ${}_{4} C _{3} p ^{3} ( 1 - p ) > _{4} C _{1} p ( 1 - p ) ^{3}$ : $( 1 - p ) ^{2} > p ^{2}$ $\displaystyle \therefore p > \frac{1}{2}$ 3) ${}_{4} C _{1} p ( 1 - p ) ^{3} > _{4} C _{4} p ^{4}$ : $4 ( 1 - p ) ^{3} > p ^{3}$ $4 ( 1 - p ) ^{3} - p ^{3} > 0$ $\displaystyle \left\{ 4 ^{\frac{1}{3}} ( 1 - p ) \right\} ^{3} - p ^{3} > 0$ $\displaystyle \left\{ 4 ^{\frac{1}{3}} ( 1 - p ) - p \right\} \left\{ 4 ^{\frac{2}{3}} ( 1 - p ) ^{2} + 4 ^{\frac{1}{3}} ( 1 - p ) p + p ^{2} \right\} > 0$ $\displaystyle \therefore p < \frac{1}{1 + 4 ^{- \frac{1}{3}}} = 0.61$ 4) ${}_{4} C _{4} p ^{4} > _{4} C _{0} ( 1 - p ) ^{4}$ : $p > ( 1 - p )$ $\displaystyle \therefore p > \frac{1}{2}$ 따라서, 공통해는 $\displaystyle \frac{1}{2} < p < \frac{3}{5}$