공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리식 연산 정의

문제

임의의 두 유리식 AA, BB에 대하여 연산 ◎를 A⊚B=A+BA−B\displaystyle A \circledcirc B = \frac{A + B}{A - B} (단, A−B≠0A - B \ne 0) 로 정의할 때, (x⊚1)⊚(1x⊚1)\displaystyle \left( x \circledcirc 1 \right) \circledcirc \left( \frac{1}{x \circledcirc 1} \right)을 간단히 하면? [4점] ①11②x2−1x\displaystyle \frac{x ^{2} - 1}{x}③x2−12x\displaystyle \frac{x ^{2} - 1}{2 x}④x2+1x\displaystyle \frac{x ^{2} + 1}{x}⑤x2+12x\displaystyle \frac{x ^{2} + 1}{2 x}

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⑤

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해설

[출제의도] 이항 연산의 정의에 따라 주어진 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. 연산의 정의에 의해 x⊚1x \circledcirc 1=x+1x−1\displaystyle = \frac{x + 1}{x - 1} 1x⊚1\displaystyle \frac{1}{x \circledcirc 1}=1x+1x−1=x−1x+1\displaystyle = \frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} 이므로 (x⊚1)⊚(1x⊚1)\displaystyle \left( x \circledcirc 1 \right) \circledcirc \left( \frac{1}{x \circledcirc 1} \right)=(x+1x−1)⊚(x−1x+1)\displaystyle = \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) \circledcirc \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)=x+1x−1+x−1x+1x+1x−1−x−1x+1\displaystyle = \frac{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}} 여기서 분모, 분자를 각각 통분하여 정리하면 (x+1)2+(x−1)2(x−1)(x+1)(x+1)2−(x−1)2(x−1)(x+1)\displaystyle \frac{\frac{( x + 1 ) ^{2} + ( x - 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}{\frac{( x + 1 ) ^{2} - ( x - 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )}}=(x+1)2+(x−1)2(x+1)2−(x−1)2\displaystyle = \frac{( x + 1 ) ^{2} + ( x - 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ^{2} - ( x - 1 ) ^{2}}=x2+2x+1+x2−2x+1(x2+2x+1)−(x2−2x+1)\displaystyle = \frac{x ^{2} + 2 x + 1 + x ^{2} - 2 x + 1}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) - ( x ^{2} - 2 x + 1 )}=2x2+24x\displaystyle = \frac{2 x ^{2} + 2}{4 x} =x2+12x\displaystyle = \frac{x ^{2} + 1}{2 x} [다른 풀이] (x⊚1)⊚(1x⊚1)\displaystyle \left( x \circledcirc 1 \right) \circledcirc \left( \frac{1}{x \circledcirc 1} \right)=x+1x−1+x−1x+1x+1x−1−x−1x+1\displaystyle = \frac{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1}} 이므로 분모 분자에 (x+1)(x−1)( x + 1 ) ( x - 1 )을 곱하면 (x+1x−1+x−1x+1)×(x+1)(x−1)(x+1x−1−x−1x+1)×(x+1)(x−1)\displaystyle \frac{{\left( \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \right)} \times {( x + 1 ) ( x - 1 )}}{\left( {\frac{x + 1}{x - 1}} - \frac{x - 1}{x + 1} \right. ) \times {( x + 1 ) ( x - 1 )}}=x+1x−1(x+1)(x−1)+x−1x+1(x+1)(x−1)x+1x−1(x+1)(x−1)−x−1x+1(x+1)(x−1)\displaystyle = \frac{\frac{x + 1}{x - 1} ( x + 1 ) ( x - 1 ) + \frac{x - 1}{x + 1} ( x + 1 ) ( x - 1 )}{\frac{x + 1}{x - 1} ( x + 1 ) ( x - 1 ) - \frac{x - 1}{x + 1} ( x + 1 ) ( x - 1 )} =(x+1)2+(x−1)2(x+1)2−(x−1)2\displaystyle = \frac{( x + 1 ) ^{2} + ( x - 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ^{2} - ( x - 1 ) ^{2}}=x2+2x+1+x2−2x+1(x2+2x+1)−(x2−2x+1)\displaystyle = \frac{x ^{2} + 2 x + 1 + x ^{2} - 2 x + 1}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) - ( x ^{2} - 2 x + 1 )}=2x2+24x\displaystyle = \frac{2 x ^{2} + 2}{4 x}=x2+12x\displaystyle = \frac{x ^{2} + 1}{2 x}

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