육각뿔 옆면 넓이

[출제의도] 입체도형의 성질과 피타고라스 정리를 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

[그림$1$] [그림$1$]과 같이 각뿔의 밑면인 정육각형의 각 꼭짓점을 차례로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ 라 하고, 나머지 꼭짓점을 $\mathrm{V}$라 하자. 꼭짓점 $\mathrm{V}$에서 각뿔의 밑면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 점 $\mathrm{H}$는 정육각형의 대각선의 교점이다. 각뿔의 옆면을 이루는 삼각형은 모두 합동이므로 삼각형 $\mathrm{VAB}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{VA}} = {\overline{VB}}$인 이등변삼각형이다.

[그림$2$] [그림$2$]에서 정육각형의 대각선에 의해 정육각형의 내부는 합동인 $6$개의 정삼각형으로 나뉜다. 그러므로 교점 $\mathrm{H}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{HAB}$는 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형이고 선분 $\mathrm{HA}$와 선분 $\mathrm{HB}$의 길이는 $2$이다. 점 $\mathrm{H}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{M}$이라 하면 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} = 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HM}}} = {\sqrt{3}}$ 이다.

[그림$3$] [그림$3$]에서 삼각형 $\mathrm{VMH}$는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{VM}}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{VH}} ^{2} + {\overline{MH}} ^{2}$$= 12 + 3 = 15$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{VM}} = {\sqrt{15}}$ 삼각형 $\mathrm{VAB}$는 이등변삼각형이고 점 $\mathrm{M}$이 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 이등변삼각형의 성질에 의하여 두 선분 $\mathrm{VM}$, $\mathrm{AB}$는 수직이다. 따라서 이등변삼각형 $\mathrm{VAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times {\sqrt{15}} = {\sqrt{15}}$ [다른 풀이]

점 $\mathrm{B}$는 정육각형의 한 꼭짓점이고 점 $\mathrm{H}$는 정육각형의 대각선의 교점이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} = 2$ 두 선분 $\mathrm{VH}$, $\mathrm{BH}$가 수직이므로 직각삼각형 $\mathrm{VBH}$에서 피타고라스정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{VB}}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{VH}} ^{2} + {\overline{BH}} ^{2}$$= 12 + 4 = 16$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{VB}} = 4$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} = 1$이고, 이등변삼각형의 성질에 의하여 두 선분 $\mathrm{VM}$, $\mathrm{AB}$는 수직이 다. 그림의 직각삼각형 $\mathrm{VMB}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{VM}}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{VB}} ^{2} - {\overline{BM}} ^{2}$$= 16 - 1 = 15$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{VM}} = {\sqrt{15}}$ 그러므로 이등변삼각형 $\mathrm{VAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times {\sqrt{15}} = {\sqrt{15}}$