확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

여사건의 확률

문제

숫자 1,2,3,41 , 2 , 3 , 4가 하나씩 적혀 있는 흰 공 44개와 숫자 4,5,64 , 5 , 6이 하나씩 적혀 있는 검은 공 33개가 있다. 이 77개의 공을 임의로 일렬로 나열할 때, 같은 숫자가 적혀 있는 공이 서로 이웃하지 않게 나열될 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. ((단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.)) [4점]

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해설

[출제의도] 여사건의 확률을 구할 수 있는가? 7개의 공을 임의로 일렬로 나열할 때, 같은 숫자가 적혀 있는 공이 서로 이웃하지 않게 나열되는 사건을 AA라 하면 AA의 여사건은 7개의 공을 임의로 일렬로 나열할 때, 같은 숫자가 적혀 있는 공이 서로 이웃하게 나열되는 사건이다. 7개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는 7!7 !이다. 4가 적혀있는 흰공과 4가 적혀있는 검은 공을 하나의 공으로 생각하여 6개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는 6!6 !이고, 이 각각에 대하여 4가 적혀 있는 흰공과 4가 적혀 있는 검은 공이 서로 위치를 바꿀 수 있으므로 이때의 경우의 수는 6!×2!6 ! \times 2 !이다. 이때 P(AC)=6!×2!7!=27\displaystyle P ( A ^{C} ) = \frac{6 ! \times 2 !}{7 !} = \frac{2}{7} 이므로 P(A)=1−P(AC)=1−27=57\displaystyle P ( A ) = 1 - P ( A ^{C} ) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} 따라서 p=7p = 7, q=5q = 5이므로 p+q=7+5=12p + q = 7 + 5 = 12

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#여사건#순열

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