확률과 통계조건부확률수능 기출기본 문제 (3점 중반)

여사건 조건부확률

문제

두 사건 $A$ , $B$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P} ( A \cup B ) = \frac{5}{8}$ , $\displaystyle \mathrm{P} ( B ) = \frac{1}{4}$ 일 때, $\mathrm{P} ( A | B ^{C} )$ 의 값은? (단, $B ^{C}$ 는 $B$ 의 여사건이다.) [3점] ① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $\displaystyle \frac{1}{3}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{4}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{5}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{6}$

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①

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해설

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( A | B ^{C} ) = \frac{{\mathrm{P}} ( A \cap B ^{C} )}{{\mathrm{P}} ( B ^{C} )}$ 이다. 그런데, ${{\mathrm{P}} ( A \cup B )} = {\mathrm{P}} ( A ) + {\mathrm{P}} ( B ) - {\mathrm{P}} ( A \cap B )$ 에서 ${{\mathrm{P}} ( A \cap B ^{C} )} = {\mathrm{P}} ( A ) - {\mathrm{P}} ( A \cap B )$ $= {{\mathrm{P}} ( A \cup B )} - {\mathrm{P}} ( B )$ $\displaystyle = \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$ 이고, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( B ^{C} ) = 1 - {\mathrm{P}} ( B ) = \frac{3}{4}$ 이다. ∴ $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A | B ^{C} ) = \frac{{\mathrm{P}} ( A \cap B ^{C} )}{{\mathrm{P}} ( B ^{C} )}$ $\displaystyle = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ [다른 풀이[ 주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.

	P( $A$ )	P( $A ^{C}$ )	계
P( $B$ )			$\displaystyle \frac{1}{4}$
P( $B ^{C}$ )		$\displaystyle 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
계			1

위의 표에서 다음을 알 수 있다.

	P( $A$ )	P( $A ^{C}$ )	계
P( $B$ )			$\displaystyle \frac{1}{4}$
P( $B ^{C}$ )	$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle \frac{3}{4}$
계			1

∴ $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A | B ^{C} ) = \frac{{\mathrm{P}} ( A \cap B ^{C} )}{{\mathrm{P}} ( B ^{C} )}$ $\displaystyle = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$

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