연속하지 않는 레인 선택

[출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기 $8$개의 레인 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택한 $3$개의 레인 번호를 각각 $X$, $Y$, $Z$$\left( X < Y < Z \right)$라 하자. $X$, $Y$, $Z$를 선택하는 경우의 수는 다음과 같다. $X$보다 작은 레인 번호의 개수를 $a$, $X$보다 크고 $Y$보다 작은 레인 번호의 개수를 $b$, $Y$보다 크고 $Z$보다 작은 레인 번호의 개수를 $c$, $Z$보다 큰 레인 번호의 개수를 $d$라 하면 $a + b + c + d = 5$$\left( a \geq 0 , b \geq 1 , c \geq 1 , d \geq 0 \right)$ $b = b' + 1$, $c = c' + 1$ $a + b' + c' + d = 3$$\left( a \geq 0 , b' \geq 0 , c' \geq 0 , d \geq 0 \right)$ ${} _{4} {\mathrm{H}} _{3} = {} _{6} {\mathrm{C}} _{3} = 20$ $3$개의 레인 번호 $X$, $Y$, $Z$를 $3$명의 학생이 선택하는 경우의 수는 ${3 !}$ 따라서 $20 \times 3 ! = 120$