공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

연산 장치 결합

문제

다음과 같은 두 연산 장치 , 가 있다.

연산 장치 에 두 양수 $a$ , $b$ 가 입력될 때 출력되는 수를 $x$ 라 하면 $\displaystyle x = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 이고, 연산 장치 에 두 양수 $a$ , $b$ 가 입력될 때 출력되는 수를 $y$ 라 하면 $\displaystyle {y} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 이다. 위의 두 연산 장치를 결합하여 아래와 같이 만든 연산 장치에서 최종적으로 출력되는 $s$ 의 값이 $\displaystyle 2 + 2 \sqrt{3}$ 일 때, $p$ 의 값은? [4점]

① $\displaystyle \frac{4}{11}$ ② $\displaystyle \frac{5}{11}$ ③ $\displaystyle \frac{6}{11}$ ④ $\displaystyle \frac{7}{11}$ ⑤ $\displaystyle \frac{8}{11}$

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①

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해설

[출제의도] 유리식과 무리식의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다. 장치 󰇴의 입력이 $49$ 와 $48$ 이므로 출력은 $\displaystyle q = \sqrt{49} + \sqrt{48} = 7 + 4 \sqrt{3}$ … ㉠ 장치 󰇵의 입력이 $4$ 와 $p$ 이므로 출력은 $\displaystyle r = \frac{1}{4} + \frac{1}{p}$ … ㉡㉠과 ㉡이 다시 장치 󰇴의 입력이므로 출력 $s$ 는 $\displaystyle s = \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{p}}$ $\displaystyle = 2 + 2 \sqrt{3}$ 이때 $\displaystyle \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = 2 + \sqrt{3}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{p} = 3$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{p} = 3 - \frac{1}{4}$ 에서 $\displaystyle p = \frac{4}{11}$

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