연립이차부등식 보기

ㄱ. $\displaystyle \begin{cases} - x ^{2} + \left( b - 1 \right) x + b < 0 \\ \left( b - 1 \right) x ^{2} + bx - 1 < 0 \end{cases}$ (ⅰ) $- x ^{2} + \left( b - 1 \right) x + b < 0$의 해는 (${\mathrm{i}}$-1) $b > - 1$일 때, $x < - 1$ 또는 $x > b$ (${\mathrm{i}}$-2) $b < - 1$일 때, $x < b$ 또는 $x > - 1$ (${\mathrm{i}}$-3) $b = - 1$일 때, $x \neq - 1$인 모든 실수 (ⅱ) $\left( b - 1 \right) x ^{2} + bx - 1 < 0$의 해는 (${\mathrm{ii}}$-1) $b - 1 > 0$이면 $\left( b - 1 \right) x ^{2} + bx - 1 = 0$의 판별식 $D = b ^{2} + 4 \left( b - 1 \right) > 0$이므로 연립부등식의 해가 $x < p$가 될 수 없다. (ⅱ-2) $b - 1 < 0$이면 이차부등식의 해는 ㉠ $x < \alpha$ 또는 $x > \beta \left( \alpha < \beta \right)$, ㉡ $x \neq \alpha$인 모든 실수, ㉢ $x$는 모든 실수 중 하나이므로 연립부등식의 해가 $x < p$가 될 수 없다. (ⅱ-3) $b - 1 = 0$이면 이차부등식의 해는 $x < 1$이므로 연립부등식의 해는 $x < - 1$이다. 따라서 $p = - 1$이다. (참) ㄴ. 연립부등식의 해가 $x < p$이려면 두 부등식 중 적어도 하나는 일차부등식이어야 한다. (ⅰ) $a = 0$인 경우 $\displaystyle \begin{cases} bx + b + 1 < 0 \\ bx ^{2} + \left( b + 1 \right) x < 0 \end{cases}$ (${\mathrm{i}}$-1) $b > 0$일 때, $\displaystyle \begin{cases} x < - \frac{b + 1}{b} \\ - \frac{b + 1}{b} < x < 0 \end{cases}$이므로 연립부등식의 해가 없다. (ⅰ-2) $b = 0$일 때, $1 < 0$이므로 연립부등식의 해가 없다. (ⅰ-3) $b < 0$일 때, $\displaystyle \begin{cases} bx + b + 1 < 0 \\ x \left( bx + b + 1 \right) < 0 \end{cases}$이므로 연립부등식의 해는 ㉠ $\displaystyle x > - \frac{b + 1}{b}$, ㉡ $x > 0$ 중 하나가 되어 연립부등식의 해가 $x < p$가 될 수 없다. (ⅱ) $a + b = 0$인 경우 $\displaystyle \begin{cases} ax ^{2} + 1 < 0 \\ x + a < 0 \end{cases}$ (ⅱ-1) $a > 0$일 때, $ax ^{2} + 1 > 0$이므로 연립부등식의 해가 없다. (ⅱ-2) $a < 0$일 때, $ax ^{2} + 1 < 0$에서 $\displaystyle x < - \sqrt{- \frac{1}{a}}$ 또는 $\displaystyle x > \sqrt{- \frac{1}{a}}$ $x + a < 0$에서 $x < - a$이므로 $\displaystyle - a \leq \sqrt{- \frac{1}{a}}$이면 연립부등식의 해가 $\displaystyle x < - \sqrt{- \frac{1}{a}}$이다. 따라서 $a + b = 0$이고 $a < 0$이므로 $b > 0$이다. (참) ㄷ. ㄴ에 의해 $a < 0$이고 $\displaystyle - a \leq \sqrt{- \frac{1}{a}}$이므로 $\displaystyle a ^{2} \leq - \frac{1}{a}$ 따라서 $a ^{3} \geq - 1$ (거짓) 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.